Two-Phase Flow

Two-phase flow는 density와 viscous가 다른 2개의 유체가 함께 흐르는 것이기 때문에 각 phase간의 상대운동이 혼합 유동에 미치는 영향을 추가로 고려해야 한다. 즉, two-phase 흐름에서는 단위 체적당 기체 (or 액체)가 액체 (or 기체)에서 어떻게 분산되어 흐르는가에 따라 관내에서 발생하는 마찰저항 (or 압력강화)과 각 상간의 열 및 물질전달량이 변화하게 된다.

Analytical Models

이를 수학적으로 표현하기 위해, 기체와 액체의 속도가 같고, 평균 density와 평균 viscosity를 가정하는 homogeneous flow model과 기체와 액체의 서로 다른 속도를 반영하고, 2상간의 상호작용을 유동조건에 연결시키는 separated flow model, 그리고 평균유동과 이에 대한 각 상의 상대 유동을 기술하는 drift flux model등이 제안되었다. 기술한 방법들은 거시적인 관점에서 다루기 때문에, 많은 부분을 경험에 의존하게 된다. 반면, 미시적 관점의 모델로는 flow pattern model이 있으며, 이는 특정 flow pattern에 대해 한정적으로 적용된다. 이는 거시적 관점에서 본 모델들과 비교해서 더 정확하지만, flow pattern을 미리 예측해야한다는 단점이 있다.

미시적 관점을 임의의 flow pattern에 일반화하게 되면, instantaneous conservation equation (local instantaneous equations)을 유도할 수 있으며, 적절한 averaging process를 거치면 two-fluid model, separated flow model, or homogeneous flow model등 을 유도할 수 있다 (but, averaging process를 거치게되면 수식을 간단화할 수는 있지만, 유동에 대한 중요 정보를 잃어버릴 수 있기 때문에 이를 반영하는 constitutive relation을 구해야할 필요가 있다). 또한, continuous phase는 Eulerain관점에서, dispersed phase는 Lagrangian관전에서 다루는 Eulerain-Lagrangian model을 유도할 수 있다.

Integral Balance Relations

각 phase의 내부는 단상유동와 유사하게 differential equation 형태의 보존방정식을 유도할 수 있지만, interface에서는 density와 viscosity가 discontinuity하기 때문에 적절한 jump condition을 설정해야한다. 각 phase의 보존방정식과 jump condition으로부터 Local Instantaneous Equation을 유도할 수 있다.

Mass Balance Relation

고정된 임의 형태의 control volume에 대해서, 액체가 차지하는 체적과 표면적을 각각 \(V_{\ell}(t), a_{\ell}(t)\), 기체가 차지하는 체적과 표면적을 각각 \(V_{g}(t), a_{g}(t)\), 그리고 기체와 액체간의 경계면적을 \(a_{i}(t)\)라고 하면, mass balance relation은 다음과 같다.

\[\begin{aligned} & \frac{d}{d t} \int_{V_{\ell}(t)}^{} \rho_{\ell} d V+\frac{d}{d t} \int_{V_g(t)}^{} \rho_g d V \\ & +\int_{a_{\ell}(t)}^{} \rho_{\ell}\left(\vec{u}_{\ell} \cdot \vec{n}_{\ell}\right) d a+\int_{a_g(t)}^{} \rho_g\left(\vec{u}_g \cdot \vec{n}_g\right) d a \\ & =0 \end{aligned}\]

여기서,

\[\frac{d}{d t} \int_{V_{\ell}(t)}^{} \rho_{\ell} d V+\frac{d}{d t} \int_{V_g(t)}^{} \rho_g d V\]

는 control volume내의 시간에 대한 질량의 변화량이며,

\[\int_{a_{\ell}(t)}^{} \rho_{\ell}\left(\vec{u}_{\ell} \cdot \vec{n}_{\ell}\right) d a+\int_{a_g(t)}^{} \rho_g\left(\vec{u}_g \cdot \vec{n}_g\right) d a\]

는 control volume의 surface를 통한 질량의 순수 유입량이다.

Momentum Balance Relation

동일하게, Momentum balance relation은 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[\begin{aligned} & \frac{d}{d t} \int_{V_{\ell}(t)} \rho_{\ell} \vec{u}_{\ell} d V+\frac{d}{d t} \int_{V_g(t)} \rho_g \vec{u}_{g} d V \\ & +\int_{a_{\ell}(t)} \rho_{\ell} \vec{u}_{\ell} \left(\vec{u}_{\ell} \cdot \vec{n}_{\ell}\right) d a +\int_{a_g(t)} \rho_g \vec{u}_{g} \left(\vec{u}_g \cdot \vec{n}_g\right) d a \\ & =\int_{V_{\ell}(t)} \rho_{\ell}\vec{F} dV + \int_{V_{g}(t)} \rho_{g}\vec{F} dV \\ & + \int_{a_{\ell}(t)} \vec{n}_{\ell}\cdot\vec{T}_{\ell} da + \int_{a_{g}(t)} \vec{n}_{g}\cdot\vec{T}_{g} da \end{aligned}\]

여기서,

\[\frac{d}{d t} \int_{V_{\ell}(t)} \rho_{\ell} \vec{u}_{\ell} d V+\frac{d}{d t} \int_{V_g(t)} \rho_g \vec{u}_{g} d V\]

는 control volume내의 시간에 대한 운동량의 변화량이고,

\[\int_{a_{\ell}(t)} \rho_{\ell} \vec{u}_{\ell} \left(\vec{u}_{\ell} \cdot \vec{n}_{\ell}\right) d a+\int_{a_g(t)} \rho_g \vec{u}_{g} \left(\vec{u}_g \cdot \vec{n}_g\right) d a\]

는 control volume의 surface를 통한 운동량의 순수 유입량이며,

\[\begin{aligned} & \int_{V_{\ell}(t)} \rho_{\ell}\vec{F} dV + \int_{V_{g}(t)} \rho_{g}\vec{F} dV \\ & + \int_{a_{\ell}(t)} \vec{n}_{\ell}\cdot\vec{T}_{\ell} da + \int_{a_{g}(t)} \vec{n}_{g}\cdot\vec{T}_{g} da \end{aligned}\]

는 control volume에 작용하는 체적력 (e.g., 중력)과 surface에 작용하는 표면력 (e.g., 압력, 전단력)을 의미한다. 여기서, 표면장력에 의한 momentum 변화는 고려하지 않았다.

Energy Balance Relation

또한, energy balance relation은 다음과 같다.

\[\begin{aligned} & \frac{d}{d t} \int_{V_{\ell}(t)} \rho_{\ell} E_{\ell} d V+\frac{d}{d t} \int_{V_g(t)} \rho_g E_{g} d V \\ & +\int_{a_{\ell}(t)} \rho_{\ell} E_{\ell} \left(\vec{u}_{\ell} \cdot \vec{n}_{\ell}\right) d a+\int_{a_g(t)} \rho_g E_{g} \left(\vec{u}_g \cdot \vec{n}_g\right) d a \\ & =\int_{V_{\ell}(t)} \rho_{\ell}\vec{F}\cdot \vec{u}_{\ell} dV + \int_{V_{g}(t)} \rho_{g}\vec{F}\cdot \vec{u}_{g} dV \\ & + \int_{a_{\ell}(t)} \vec{n}_{\ell}\cdot\left(\vec{T}_{\ell}\cdot \vec{u}_{\ell}\right) da + \int_{a_{g}(t)} \vec{n}_{g}\cdot\left(\vec{T}_{g}\cdot \vec{u}_{g}\right) da \\ & - \int_{a_{\ell}(t)} \vec{q}_{\ell}\cdot \vec{n}_{\ell} da - \int_{a_{g}(t)} \vec{q}_g\cdot \vec{n}_{g} da \end{aligned}\]

여기서, \(E_{k}=\frac{1}{2}u_{k}^2+e_{k}\), \((k=\ell, g)\)이다.

\[\frac{d}{d t} \int_{V_{\ell}(t)} \rho_{\ell} E_{\ell} d V+\frac{d}{d t} \int_{V_g(t)} \rho_g E_{g} d V\]

는 control volume내의 시간에 대한 총에너지 변화량이고,

\[\int_{a_{\ell}(t)} \rho_{\ell} E_{\ell} \left(\vec{u}_{\ell} \cdot \vec{n}_{\ell}\right) d a+\int_{a_g(t)} \rho_g E_{g} \left(\vec{u}_g \cdot \vec{n}_g\right) d a\]

는 control volume의 surface를 통한 총에너지의 순수 유입량이다. 또한,

\[\int_{V_{\ell}(t)} \rho_{\ell}\vec{F}\cdot \vec{u}_{\ell} dV + \int_{V_{g}(t)} \rho_{g}\vec{F}\cdot \vec{u}_{g} dV\]

는 체적력에 의한 power이고,

\[\int_{a_{\ell}(t)} \vec{n}_{\ell}\cdot\left(\vec{T}_{\ell}\cdot \vec{u}_{\ell}\right) da + \int_{a_{g}(t)} \vec{n}_{g}\cdot\left(\vec{T}_{g}\cdot \vec{u}_{g}\right) da\]

는 표면력에 의한 power를 나타내며,

\[\int_{a_{\ell}(t)} \vec{q}_{\ell}\cdot \vec{n}_{\ell} da + \int_{a_{g}(t)} \vec{q}_g\cdot \vec{n}_{g} da\]

는 표면적을 통해 전달되는 열전달량이다.

Entropy Balance Relation

마지막으로, entropy balance relation은 다음과 같다.

\[\begin{aligned} & \frac{d}{d t} \int_{V_{\ell}(t)} \rho_{\ell} s_{\ell} d V+\frac{d}{d t} \int_{V_g(t)} \rho_g s_{g} d V\\ & +\int_{a_{\ell}(t)} \rho_{\ell} s_{\ell} \left(\vec{u}_{\ell} \cdot \vec{n}_{\ell}\right) d a+\int_{a_g(t)} \rho_g s_{g} \left(\vec{u}_g \cdot \vec{n}_g\right) d a \\ & + \int_{a_\ell(t)}\frac{1}{T_\ell}\left(\vec{q}_{\ell}\cdot \vec{n}_{\ell}\right)da + \int_{a_g(t)}\frac{1}{T_g}\left(\vec{q}_{g}\cdot \vec{n}_{g}\right)da \\ & = \int_{V_\ell(t)}\Delta_\ell dV + \int_{V_g(t)}\Delta_g dV+\int_{a_i(t)}\Delta_ida \ge0 \end{aligned}\]

여기서,

\[\frac{d}{d t} \int_{V_{\ell}(t)} \rho_{\ell} s_{\ell} d V+\frac{d}{d t} \int_{V_g(t)} \rho_g s_{g} d V\]

는 control volume내의 시간에 대한 엔트로피 변화량이고,

\[\int_{a_{\ell}(t)} \rho_{\ell} s_{\ell} \left(\vec{u}_{\ell} \cdot \vec{n}_{\ell}\right) d a+\int_{a_g(t)} \rho_g s_{g} \left(\vec{u}_g \cdot \vec{n}_g\right) d a\]

는 control volume의 surface를 통한 엔트로피의 순수 유입량을 나타내며,

\[\int_{a_\ell(t)}\frac{1}{T_\ell}\left(\vec{q}_{\ell}\cdot \vec{n}_{\ell}\right)da + \int_{a_g(t)}\frac{1}{T_g}\left(\vec{q}_{g}\cdot \vec{n}_{g}\right)da\]

는 표면을 통해 전달되는 열전도에 의한 엔트로피 변화량이다. 또한, \(\Delta_\ell, \Delta_g\) 및 \(\Delta_i\)는 각각 단위체적당 엔트로피 생성량 및 경계면에서의 단위면적당 엔트로피 생성량을 의미한다. Entropy relation은 열역학 제2법칙에 따라 항상 0보다 크다.

Generalization

위의 식들을 모두 내포하는 generalized 적분형태의 보존관계식은 다음과 같다.

\[\begin{aligned} & \sum_{k=\ell, g} \frac{d}{d t} \int_{V_k(t)} \rho_k \psi_k d V+\sum_{k=\ell, g} \int_{a_k(t)} \rho_k \psi_k\left(\vec{u}_k \cdot \vec{n}_k\right) d a \\ & =\sum_{k=\ell, g} \int_{V_k(t)} \rho_k \phi_k d V+\sum_{k=\ell, g} \int_{a_k(t)} \vec{n}_k \cdot \vec{J}_k d a+\int_{a_i(t)} \phi_i d a \\ & \end{aligned}\]

여기서, \(\psi_k, \vec{J}_{k}, \phi_k, \phi_i\)는 각각 다음과 같이 표현할 수 있다.

Balance relation \(\psi_k\) \(\phi_k\) \(\vec{J}_k\) \(\phi_i\)
Mass 1 0 0 0
Momentum \(\vec{u}_k\) \(\vec{F}\) \(\vec{T}_k\) 0
Total Energy \(E_k\) \(\vec{F}\cdot\vec{u}_k\) \(\vec{T}_k\cdot\vec{u}_k - \vec{q}_{k}\) 0
Entropy \(s_k\) \({\Delta_k}/{\rho_k}\) \(-{\vec{q}_k}/{T_k}\) \(\Delta_i\)


Local Instantaneous Equations

Generalized 적분형태의 보존관계식에 Leibniz rule과 Gauss theorem을 적용하면 다음과 같이 된다.

\[\begin{aligned} & \sum_{k=\ell, g}\int_{V_\ell(t)}\left[ \frac{\partial}{\partial t}\left(\rho_k\psi_k\right) + \nabla\cdot\left(\rho_k\psi_k\vec{u}_k\right) - \nabla\cdot\vec{J}_k - \rho_k\phi_k \right]dV \\ &- \int_{a_i(t)}\left[\sum_{k=\ell,g}\left(\dot{m}_k\psi_k-\vec{n}_k\cdot\vec{J}_k\right) +\phi_i\right]da=0 \end{aligned}\]

여기서, \(\dot{m}_k\equiv\rho_k\left(\vec{u}_k-\vec{u}_i\right)\cdot\vec{n}_k\) 는 interface를 통한 단위면적당 물질전달량 (i.e., evaporation, condensation)을 의미한다. 본 식은 임의의 control volume과 interface에 대해서 항상 성립해야하기 때문에 적분내의 항들도 각각 0이어야 한다. 따라서,

\[\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho_k\psi_k\right) + \nabla\cdot\left(\rho_k\psi_k\vec{u}_k\right) - \nabla\cdot\vec{J}_k - \rho_k\phi_k = 0\] \[\sum_{k=\ell,g}\left(\dot{m}_k\psi_k-\vec{n}_k\cdot\vec{J}_k\right) +\phi_i=0\]

여기서, 위 식을 local instantaneous equation이라 하고, 아래 식을 local instantaneous jump condition이라 한다.

Local Instantaneous Equations

Continuity Equation

\[\frac{\partial\rho_k}{\partial t}+\nabla\cdot\left(\rho_k\vec{u}_k\right) = 0\]

Momentum Equation

\[\frac{\partial\left(\rho_k\vec{u}_k\right)}{\partial t}+\nabla\cdot\left(\rho_k \vec{u}_k\vec{u}_k\right)-\rho_k\vec{F}-\nabla\cdot\vec{T}_k=0\]

Energy Equation

\[\frac{\partial\left(\rho_kE_k\right)}{\partial t}+\nabla\cdot\left(\rho_kE_k\vec{u}_k\right)-\rho_k\vec{F}\cdot\vec{u}_k-\nabla\cdot\left(\vec{T}_k\cdot\vec{u}_k\right)+\nabla\cdot\vec{q}_k=0\]

Entropy Inequality

\[\frac{\partial\left(\rho_ks_k\right)}{\partial t}+\nabla\cdot\left(\rho_ks_k\vec{u}_k\right)+\nabla\cdot\frac{\vec{q}_k}{T_k}=\Delta_k\ge0\]

위의 기술된 식들은 단상 유동에서 나타나는 보존방정식들의 형태와 동일하다.

Local Instantaneous Jump Condition

Mass Jump Condition

\[\dot{m}_\ell + \dot{m}_g = 0\]

이를 풀어서 적으면 다음과 같다.

\[\rho_\ell(\vec{u}_\ell-\vec{u}_i)\cdot\vec{n}_\ell + \rho_g(\vec{u}_g-\vec{u}_i)\cdot\vec{n}_g = 0\]
Momentum Jump Condition
\[\dot{m}_\ell\vec{u}_\ell-\vec{n}_\ell\cdot\vec{T}_\ell + \dot{m}_g\vec{u}_g-\vec{n}_g\cdot\vec{T}_g=0\]

여기에, mass jump condition을 활용하면 다음과 같이 된다.

\[\dot{m}_\ell\left(\vec{u}_\ell - \vec{u}_g\right)-\vec{n}_\ell\cdot\vec{T}_\ell-\vec{n}_g\cdot\vec{T}_g=0\]

여기서, 기체-액체 2상유동의 interface에서 발생하는 표면장력의 영향을 고려하면 다음과 같아진다.

\[\dot{m}_\ell\left(\vec{u}_\ell - \vec{u}_g\right)-\vec{n}_\ell\cdot\vec{T}_\ell-\vec{n}_g\cdot\vec{T}_g + S_\text{st}=0\] \[S_\text{st}=\left(\vec{t}_\alpha A^{\alpha\beta}\sigma\right)_{,\beta}\]

여기서, 만약 직교좌표계 \(y^k\) 상에서 \((u^1, u^2)\)로 정의되는 surface의 한 점이 \(y^{k}=y^k(u^1, u^2)\)로 주어진다고 하면, surface metric tensor, \(A^{\alpha \beta}\)는 다음과 같이 표현된다.

\[A^{\alpha \beta} = \sum^3_{k=1}\frac{\partial y^k}{\partial u^\alpha}\frac{\partial y^k}{\partial u^\beta}\]

또한, 공간과 표면사이의 hybrid tensor, \(\vec{t}_{\alpha}\)는 general space coordinate, \(x^i\)에서 표현되는 surface position, \(x^i=x^i(u^1, u^2)\)를 활용하여 다음과 같이 정의된다.

\[t^i_{\alpha}=\frac{\partial x^i}{\partial u^{\alpha}}\]

그리고, \(()_{,\beta}\)는 space derivative와 유사하지만, curved coordinates effects도 고려하는 covariance surface derivative를 나타내며, \(\sigma\)는 isotropic surface tension을 의미한다.

Reference about surface tension term (pp.28-34)

Energy Jump Condition
\[\dot{m}_\ell E_\ell - \vec{n}_\ell\cdot \left(\vec{T}_\ell\cdot \vec{u}_\ell-\vec{q}_\ell\right) + \dot{m}_g E_g - \vec{n}_g\cdot \left(\vec{T}_g\cdot \vec{u}_g-\vec{q}_g\right)=0\]

여기서도, 기체-액체 interface에서의 표면장력 영향을 고려하기 위해서는 다음과 같이 추가적인 term이 필요하다.

\[\dot{m}_\ell E_\ell - \vec{n}_\ell\cdot \left(\vec{T}_\ell\cdot \vec{u}_\ell-\vec{q}_\ell\right) + \dot{m}_g E_g - \vec{n}_g\cdot \left(\vec{T}_g\cdot \vec{u}_g-\vec{q}_g\right) + S_\text{st}=0\] \[S_\text{st} = T_i\left[\frac{d_s}{dt}\left(\frac{d\sigma}{dT_i}\right)+\left(\frac{d\sigma}{dT_i}\right)\nabla_s\cdot\vec{u}_i\right]+\left(\vec{t}_\alpha A^{\alpha\beta}\sigma\right)_{,\beta}\cdot\vec{u}_i\]

여기서, surface tension는 interface 온도의 함수, \(\sigma=\sigma(T_i)\)이며 \(\frac{d_s}{dt}, \nabla_s\)는 interface coordinates에 대한 미분값들이다.

Interface Entropy Inequality
\[\dot{m}_{\ell}s_{\ell}+\vec{n}_{\ell}\cdot\frac{\vec{q}_\ell}{T_\ell}+ \dot{m}_{g}s_{g}+\vec{n}_{g}\cdot\frac{\vec{q}_g}{T_g}+\Delta_i=0\]

이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[\Delta_i = -\dot{m}_{\ell}s_{\ell}-\vec{n}_{\ell}\cdot\frac{\vec{q}_\ell}{T_\ell}- \dot{m}_{g}s_{g}-\vec{n}_{g}\cdot\frac{\vec{q}_g}{T_g}\ge0\]